附录A NumPy高级应用
在这篇附录中,我会深入NumPy库的数组计算。这会包括ndarray更内部的细节,和更高级的数组操作和算法。
本章包括了一些杂乱的章节,不需要仔细研究。

A.1 ndarray对象的内部机理

NumPy的ndarray提供了一种将同质数据块(可以是连续或跨越)解释为多维数组对象的方式。正如你之前所看到的那样,数据类型(dtype)决定了数据的解释方式,比如浮点数、整数、布尔值等。
ndarray如此强大的部分原因是所有数组对象都是数据块的一个跨度视图(strided view)。你可能想知道数组视图arr[::2,::-1]不复制任何数据的原因是什么。简单地说,ndarray不只是一块内存和一个dtype,它还有跨度信息,这使得数组能以各种步幅(step size)在内存中移动。更准确地讲,ndarray内部由以下内容组成:
  • 一个指向数据(内存或内存映射文件中的一块数据)的指针。
  • 数据类型或dtype,描述在数组中的固定大小值的格子。
  • 一个表示数组形状(shape)的元组。
  • 一个跨度元组(stride),其中的整数指的是为了前进到当前维度下一个元素需要“跨过”的字节数。
图A-1简单地说明了ndarray的内部结构。
图A-1 Numpy的ndarray对象
例如,一个10×5的数组,其形状为(10,5):
In [10]: np.ones((10, 5)).shape
Out[10]: (10, 5)
一个典型的(C顺序,稍后将详细讲解)3×4×5的float64(8个字节)数组,其跨度为(160,40,8) —— 知道跨度是非常有用的,通常,跨度在一个轴上越大,沿这个轴进行计算的开销就越大:
In [11]: np.ones((3, 4, 5), dtype=np.float64).strides
Out[11]: (160, 40, 8)
虽然NumPy用户很少会对数组的跨度信息感兴趣,但它们却是构建非复制式数组视图的重要因素。跨度甚至可以是负数,这样会使数组在内存中后向移动,比如在切片obj[::-1]或obj[:,::-1]中就是这样的。

NumPy数据类型体系

你可能偶尔需要检查数组中所包含的是否是整数、浮点数、字符串或Python对象。因为浮点数的种类很多(从float16到float128),判断dtype是否属于某个大类的工作非常繁琐。幸运的是,dtype都有一个超类(比如np.integer和np.floating),它们可以跟np.issubdtype函数结合使用:
In [12]: ints = np.ones(10, dtype=np.uint16)
In [13]: floats = np.ones(10, dtype=np.float32)
In [14]: np.issubdtype(ints.dtype, np.integer)
Out[14]: True
In [15]: np.issubdtype(floats.dtype, np.floating)
Out[15]: True
调用dtype的mro方法即可查看其所有的父类:
In [16]: np.float64.mro()
Out[16]:
[numpy.float64,
numpy.floating,
numpy.inexact,
numpy.number,
numpy.generic,
float,
object]
然后得到:
In [17]: np.issubdtype(ints.dtype, np.number)
Out[17]: True
大部分NumPy用户完全不需要了解这些知识,但是这些知识偶尔还是能派上用场的。图A-2说明了dtype体系以及父子类关系。
图A-2 NumPy的dtype体系

A.2 高级数组操作

除花式索引、切片、布尔条件取子集等操作之外,数组的操作方式还有很多。虽然pandas中的高级函数可以处理数据分析工作中的许多重型任务,但有时你还是需要编写一些在现有库中找不到的数据算法。

数组重塑

多数情况下,你可以无需复制任何数据,就将数组从一个形状转换为另一个形状。只需向数组的实例方法reshape传入一个表示新形状的元组即可实现该目的。例如,假设有一个一维数组,我们希望将其重新排列为一个矩阵(结果见图A-3):
In [18]: arr = np.arange(8)
In [19]: arr
Out[19]: array([0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7])
In [20]: arr.reshape((4, 2))
Out[20]:
array([[0, 1],
[2, 3],
[4, 5],
[6, 7]])
图A-3 按C顺序(按行)和按Fortran顺序(按列)进行重塑
多维数组也能被重塑:
In [21]: arr.reshape((4, 2)).reshape((2, 4))
Out[21]:
array([[0, 1, 2, 3],
[4, 5, 6, 7]])
作为参数的形状的其中一维可以是-1,它表示该维度的大小由数据本身推断而来:
In [22]: arr = np.arange(15)
In [23]: arr.reshape((5, -1))
Out[23]:
array([[ 0, 1, 2],
[ 3, 4, 5],
[ 6, 7, 8],
[ 9, 10, 11],
[12, 13, 14]])
与reshape将一维数组转换为多维数组的运算过程相反的运算通常称为扁平化(flattening)或散开(raveling):
In [27]: arr = np.arange(15).reshape((5, 3))
In [28]: arr
Out[28]:
array([[ 0, 1, 2],
[ 3, 4, 5],
[ 6, 7, 8],
[ 9, 10, 11],
[12, 13, 14]])
In [29]: arr.ravel()
Out[29]: array([ 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14])
如果结果中的值与原始数组相同,ravel不会产生源数据的副本。flatten方法的行为类似于ravel,只不过它总是返回数据的副本:
In [30]: arr.flatten()
Out[30]: array([ 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14])
数组可以被重塑或散开为别的顺序。这对NumPy新手来说是一个比较微妙的问题,所以在下一小节中我们将专门讲解这个问题。

C和Fortran顺序

NumPy允许你更为灵活地控制数据在内存中的布局。默认情况下,NumPy数组是按行优先顺序创建的。在空间方面,这就意味着,对于一个二维数组,每行中的数据项是被存放在相邻内存位置上的。另一种顺序是列优先顺序,它意味着每列中的数据项是被存放在相邻内存位置上的。
由于一些历史原因,行和列优先顺序又分别称为C和Fortran顺序。在FORTRAN 77中,矩阵全都是列优先的。
像reshape和reval这样的函数,都可以接受一个表示数组数据存放顺序的order参数。一般可以是'C'或'F'(还有'A'和'K'等不常用的选项,具体请参考NumPy的文档)。图A-3对此进行了说明:
In [31]: arr = np.arange(12).reshape((3, 4))
In [32]: arr
Out[32]:
array([[ 0, 1, 2, 3],
[ 4, 5, 6, 7],
[ 8, 9, 10, 11]])
In [33]: arr.ravel()
Out[33]: array([ 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11])
In [34]: arr.ravel('F')
Out[34]: array([ 0, 4, 8, 1, 5, 9, 2, 6, 10, 3, 7, 11])
图A-3 按C(行优先)或Fortran(列优先)顺序进行重塑
二维或更高维数组的重塑过程比较令人费解(见图A-3)。C和Fortran顺序的关键区别就是维度的行进顺序:
  • C/行优先顺序:先经过更高的维度(例如,轴1会先于轴0被处理)。
  • Fortran/列优先顺序:后经过更高的维度(例如,轴0会先于轴1被处理)。

数组的合并和拆分

numpy.concatenate可以按指定轴将一个由数组组成的序列(如元组、列表等)连接到一起:
In [35]: arr1 = np.array([[1, 2, 3], [4, 5, 6]])
In [36]: arr2 = np.array([[7, 8, 9], [10, 11, 12]])
In [37]: np.concatenate([arr1, arr2], axis=0)
Out[37]:
array([[ 1, 2, 3],
[ 4, 5, 6],
[ 7, 8, 9],
[10, 11, 12]])
In [38]: np.concatenate([arr1, arr2], axis=1)
Out[38]:
array([[ 1, 2, 3, 7, 8, 9],
[ 4, 5, 6, 10, 11, 12]])
对于常见的连接操作,NumPy提供了一些比较方便的方法(如vstack和hstack)。因此,上面的运算还可以表达为:
In [39]: np.vstack((arr1, arr2))
Out[39]:
array([[ 1, 2, 3],
[ 4, 5, 6],
[ 7, 8, 9],
[10, 11, 12]])
In [40]: np.hstack((arr1, arr2))
Out[40]:
array([[ 1, 2, 3, 7, 8, 9],
[ 4, 5, 6, 10, 11, 12]])
与此相反,split用于将一个数组沿指定轴拆分为多个数组:
In [41]: arr = np.random.randn(5, 2)
In [42]: arr
Out[42]:
array([[-0.2047, 0.4789],
[-0.5194, -0.5557],
[ 1.9658, 1.3934],
[ 0.0929, 0.2817],
[ 0.769 , 1.2464]])
In [43]: first, second, third = np.split(arr, [1, 3])
In [44]: first
Out[44]: array([[-0.2047, 0.4789]])
In [45]: second
Out[45]:
array([[-0.5194, -0.5557],
[ 1.9658, 1.3934]])
In [46]: third
Out[46]:
array([[ 0.0929, 0.2817],
[ 0.769 , 1.2464]])
传入到np.split的值[1,3]指示在哪个索引处分割数组。
表A-1中列出了所有关于数组连接和拆分的函数,其中有些是专门为了方便常见的连接运算而提供的。
表A-1 数组连接函数

堆叠辅助类:r和c

NumPy命名空间中有两个特殊的对象——r和c,它们可以使数组的堆叠操作更为简洁:
In [47]: arr = np.arange(6)
In [48]: arr1 = arr.reshape((3, 2))
In [49]: arr2 = np.random.randn(3, 2)
In [50]: np.r_[arr1, arr2]
Out[50]:
array([[ 0. , 1. ],
[ 2. , 3. ],
[ 4. , 5. ],
[ 1.0072, -1.2962],
[ 0.275 , 0.2289],
[ 1.3529, 0.8864]])
In [51]: np.c_[np.r_[arr1, arr2], arr]
Out[51]:
array([[ 0. , 1. , 0. ],
[ 2. , 3. , 1. ],
[ 4. , 5. , 2. ],
[ 1.0072, -1.2962, 3. ],
[ 0.275 , 0.2289, 4. ],
[ 1.3529, 0.8864, 5. ]])
它还可以将切片转换成数组:
In [52]: np.c_[1:6, -10:-5]
Out[52]:
array([[ 1, -10],
[ 2, -9],
[ 3, -8],
[ 4, -7],
[ 5, -6]])
r和c的具体功能请参考其文档。

元素的重复操作:tile和repeat

对数组进行重复以产生更大数组的工具主要是repeat和tile这两个函数。repeat会将数组中的各个元素重复一定次数,从而产生一个更大的数组:
In [53]: arr = np.arange(3)
In [54]: arr
Out[54]: array([0, 1, 2])
In [55]: arr.repeat(3)
Out[55]: array([0, 0, 0, 1, 1, 1, 2, 2, 2])
笔记:跟其他流行的数组编程语言(如MATLAB)不同,NumPy中很少需要对数组进行重复(replicate)。这主要是因为广播(broadcasting,我们将在下一节中讲解该技术)能更好地满足该需求。
默认情况下,如果传入的是一个整数,则各元素就都会重复那么多次。如果传入的是一组整数,则各元素就可以重复不同的次数:
In [56]: arr.repeat([2, 3, 4])
Out[56]: array([0, 0, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2])
对于多维数组,还可以让它们的元素沿指定轴重复:
In [57]: arr = np.random.randn(2, 2)
In [58]: arr
Out[58]:
array([[-2.0016, -0.3718],
[ 1.669 , -0.4386]])
In [59]: arr.repeat(2, axis=0)
Out[59]:
array([[-2.0016, -0.3718],
[-2.0016, -0.3718],
[ 1.669 , -0.4386],
[ 1.669 , -0.4386]])
注意,如果没有设置轴向,则数组会被扁平化,这可能不会是你想要的结果。同样,在对多维进行重复时,也可以传入一组整数,这样就会使各切片重复不同的次数:
In [60]: arr.repeat([2, 3], axis=0)
Out[60]:
array([[-2.0016, -0.3718],
[-2.0016, -0.3718],
[ 1.669 , -0.4386],
[ 1.669 , -0.4386],
[ 1.669 , -0.4386]])
In [61]: arr.repeat([2, 3], axis=1)
Out[61]:
array([[-2.0016, -2.0016, -0.3718, -0.3718, -0.3718],
[ 1.669 , 1.669 , -0.4386, -0.4386, -0.4386]])
tile的功能是沿指定轴向堆叠数组的副本。你可以形象地将其想象成“铺瓷砖”:
In [62]: arr
Out[62]:
array([[-2.0016, -0.3718],
[ 1.669 , -0.4386]])
In [63]: np.tile(arr, 2)
Out[63]:
array([[-2.0016, -0.3718, -2.0016, -0.3718],
[ 1.669 , -0.4386, 1.669 , -0.4386]])
第二个参数是瓷砖的数量。对于标量,瓷砖是水平铺设的,而不是垂直铺设。它可以是一个表示“铺设”布局的元组:
In [64]: arr
Out[64]:
array([[-2.0016, -0.3718],
[ 1.669 , -0.4386]])
In [65]: np.tile(arr, (2, 1))
Out[65]:
array([[-2.0016, -0.3718],
[ 1.669 , -0.4386],
[-2.0016, -0.3718],
[ 1.669 , -0.4386]])
In [66]: np.tile(arr, (3, 2))
Out[66]:
array([[-2.0016, -0.3718, -2.0016, -0.3718],
[ 1.669 , -0.4386, 1.669 , -0.4386],
[-2.0016, -0.3718, -2.0016, -0.3718],
[ 1.669 , -0.4386, 1.669 , -0.4386],
[-2.0016, -0.3718, -2.0016, -0.3718],
[ 1.669 , -0.4386, 1.669 , -0.4386]])

花式索引的等价函数:take和put

在第4章中我们讲过,获取和设置数组子集的一个办法是通过整数数组使用花式索引:
In [67]: arr = np.arange(10) * 100
In [68]: inds = [7, 1, 2, 6]
In [69]: arr[inds]
Out[69]: array([700, 100, 200, 600])
ndarray还有其它方法用于获取单个轴向上的选区:
In [70]: arr.take(inds)
Out[70]: array([700, 100, 200, 600])
In [71]: arr.put(inds, 42)
In [72]: arr
Out[72]: array([ 0, 42, 42, 300, 400, 500, 42, 42,800, 900])
In [73]: arr.put(inds, [40, 41, 42, 43])
In [74]: arr
Out[74]: array([ 0, 41, 42, 300, 400, 500, 43, 40, 800, 900])
要在其它轴上使用take,只需传入axis关键字即可:
In [75]: inds = [2, 0, 2, 1]
In [76]: arr = np.random.randn(2, 4)
In [77]: arr
Out[77]:
array([[-0.5397, 0.477 , 3.2489, -1.0212],
[-0.5771, 0.1241, 0.3026, 0.5238]])
In [78]: arr.take(inds, axis=1)
Out[78]:
array([[ 3.2489, -0.5397, 3.2489, 0.477 ],
[ 0.3026, -0.5771, 0.3026, 0.1241]])
put不接受axis参数,它只会在数组的扁平化版本(一维,C顺序)上进行索引。因此,在需要用其他轴向的索引设置元素时,最好还是使用花式索引。

A.3 广播

广播(broadcasting)指的是不同形状的数组之间的算术运算的执行方式。它是一种非常强大的功能,但也容易令人误解,即使是经验丰富的老手也是如此。将标量值跟数组合并时就会发生最简单的广播:
In [79]: arr = np.arange(5)
In [80]: arr
Out[80]: array([0, 1, 2, 3, 4])
In [81]: arr * 4
Out[81]: array([ 0, 4, 8, 12, 16])
这里我们说:在这个乘法运算中,标量值4被广播到了其他所有的元素上。
看一个例子,我们可以通过减去列平均值的方式对数组的每一列进行距平化处理。这个问题解决起来非常简单:
In [82]: arr = np.random.randn(4, 3)
In [83]: arr.mean(0)
Out[83]: array([-0.3928, -0.3824, -0.8768])
In [84]: demeaned = arr - arr.mean(0)
In [85]: demeaned
Out[85]:
array([[ 0.3937, 1.7263, 0.1633],
[-0.4384, -1.9878, -0.9839],
[-0.468 , 0.9426, -0.3891],
[ 0.5126, -0.6811, 1.2097]])
In [86]: demeaned.mean(0)
Out[86]: array([-0., 0., -0.])
图A-4形象地展示了该过程。用广播的方式对行进行距平化处理会稍微麻烦一些。幸运的是,只要遵循一定的规则,低维度的值是可以被广播到数组的任意维度的(比如对二维数组各列减去行平均值)。
图A-4 一维数组在轴0上的广播
于是就得到了:
虽然我是一名经验丰富的NumPy老手,但经常还是得停下来画张图并想想广播的原则。再来看一下最后那个例子,假设你希望对各行减去那个平均值。由于arr.mean(0)的长度为3,所以它可以在0轴向上进行广播:因为arr的后缘维度是3,所以它们是兼容的。根据该原则,要在1轴向上做减法(即各行减去行平均值),较小的那个数组的形状必须是(4,1):
In [87]: arr
Out[87]:
array([[ 0.0009, 1.3438, -0.7135],
[-0.8312, -2.3702, -1.8608],
[-0.8608, 0.5601, -1.2659],
[ 0.1198, -1.0635, 0.3329]])
In [88]: row_means = arr.mean(1)
In [89]: row_means.shape
Out[89]: (4,)
In [90]: row_means.reshape((4, 1))
Out[90]:
array([[ 0.2104],
[-1.6874],
[-0.5222],
[-0.2036]])
In [91]: demeaned = arr - row_means.reshape((4, 1))
In [92]: demeaned.mean(1)
Out[92]: array([ 0., -0., 0., 0.])
图A-5说明了该运算的过程。
图A-5 二维数组在轴1上的广播
图A-6展示了另外一种情况,这次是在一个三维数组上沿0轴向加上一个二维数组。
图A-6 三维数组在轴0上的广播

沿其它轴向广播

高维度数组的广播似乎更难以理解,而实际上它也是遵循广播原则的。如果不然,你就会得到下面这样一个错误:
In [93]: arr - arr.mean(1)
---------------------------------------------------------------------------
ValueError Traceback (most recent call last)
<ipython-input-93-7b87b85a20b2> in <module>()
----> 1 arr - arr.mean(1)
ValueError: operands could not be broadcast together with shapes (4,3) (4,)
人们经常需要通过算术运算过程将较低维度的数组在除0轴以外的其他轴向上广播。根据广播的原则,较小数组的“广播维”必须为1。在上面那个行距平化的例子中,这就意味着要将行平均值的形状变成(4,1)而不是(4,):
In [94]: arr - arr.mean(1).reshape((4, 1))
Out[94]:
array([[-0.2095, 1.1334, -0.9239],
[ 0.8562, -0.6828, -0.1734],
[-0.3386, 1.0823, -0.7438],
[ 0.3234, -0.8599, 0.5365]])
对于三维的情况,在三维中的任何一维上广播其实也就是将数据重塑为兼容的形状而已。图A-7说明了要在三维数组各维度上广播的形状需求。
图A-7:能在该三维数组上广播的二维数组的形状
于是就有了一个非常普遍的问题(尤其是在通用算法中),即专门为了广播而添加一个长度为1的新轴。虽然reshape是一个办法,但插入轴需要构造一个表示新形状的元组。这是一个很郁闷的过程。因此,NumPy数组提供了一种通过索引机制插入轴的特殊语法。下面这段代码通过特殊的np.newaxis属性以及“全”切片来插入新轴:
In [95]: arr = np.zeros((4, 4))
In [96]: arr_3d = arr[:, np.newaxis, :]
In [97]: arr_3d.shape
Out[97]: (4, 1, 4)
In [98]: arr_1d = np.random.normal(size=3)
In [99]: arr_1d[:, np.newaxis]
Out[99]:
array([[-2.3594],
[-0.1995],
[-1.542 ]])
In [100]: arr_1d[np.newaxis, :]
Out[100]: array([[-2.3594, -0.1995, -1.542 ]])
因此,如果我们有一个三维数组,并希望对轴2进行距平化,那么只需要编写下面这样的代码就可以了:
In [101]: arr = np.random.randn(3, 4, 5)
In [102]: depth_means = arr.mean(2)
In [103]: depth_means
Out[103]:
array([[-0.4735, 0.3971, -0.0228, 0.2001],
[-0.3521, -0.281 , -0.071 , -0.1586],
[ 0.6245, 0.6047, 0.4396, -0.2846]])
In [104]: depth_means.shape
Out[104]: (3, 4)
In [105]: demeaned = arr - depth_means[:, :, np.newaxis]
In [106]: demeaned.mean(2)
Out[106]:
array([[ 0., 0., -0., -0.],
[ 0., 0., -0., 0.],
[ 0., 0., -0., -0.]])
有些读者可能会想,在对指定轴进行距平化时,有没有一种既通用又不牺牲性能的方法呢?实际上是有的,但需要一些索引方面的技巧:
def demean_axis(arr, axis=0):
means = arr.mean(axis)
# This generalizes things like [:, :, np.newaxis] to N dimensions
indexer = [slice(None)] * arr.ndim
indexer[axis] = np.newaxis
return arr - means[indexer]

通过广播设置数组的值

算术运算所遵循的广播原则同样也适用于通过索引机制设置数组值的操作。对于最简单的情况,我们可以这样做:
In [107]: arr = np.zeros((4, 3))
In [108]: arr[:] = 5
In [109]: arr
Out[109]:
array([[ 5., 5., 5.],
[ 5., 5., 5.],
[ 5., 5., 5.],
[ 5., 5., 5.]])
但是,假设我们想要用一个一维数组来设置目标数组的各列,只要保证形状兼容就可以了:
In [110]: col = np.array([1.28, -0.42, 0.44, 1.6])
In [111]: arr[:] = col[:, np.newaxis]
In [112]: arr
Out[112]:
array([[ 1.28, 1.28, 1.28],
[-0.42, -0.42, -0.42],
[ 0.44, 0.44, 0.44],
[ 1.6 , 1.6 , 1.6 ]])
In [113]: arr[:2] = [[-1.37], [0.509]]
In [114]: arr
Out[114]:
array([[-1.37 , -1.37 , -1.37 ],
[ 0.509, 0.509, 0.509],
[ 0.44 , 0.44 , 0.44 ],
[ 1.6 , 1.6 , 1.6 ]])

A.4 ufunc高级应用

虽然许多NumPy用户只会用到通用函数所提供的快速的元素级运算,但通用函数实际上还有一些高级用法能使我们丢开循环而编写出更为简洁的代码。

ufunc实例方法

NumPy的各个二元ufunc都有一些用于执行特定矢量化运算的特殊方法。表A-2汇总了这些方法,下面我将通过几个具体的例子对它们进行说明。
reduce接受一个数组参数,并通过一系列的二元运算对其值进行聚合(可指明轴向)。例如,我们可以用np.add.reduce对数组中各个元素进行求和:
In [115]: arr = np.arange(10)
In [116]: np.add.reduce(arr)
Out[116]: 45
In [117]: arr.sum()
Out[117]: 45
起始值取决于ufunc(对于add的情况,就是0)。如果设置了轴号,约简运算就会沿该轴向执行。这就使你能用一种比较简洁的方式得到某些问题的答案。在下面这个例子中,我们用np.logical_and检查数组各行中的值是否是有序的:
In [118]: np.random.seed(12346) # for reproducibility
In [119]: arr = np.random.randn(5, 5)
In [120]: arr[::2].sort(1) # sort a few rows
In [121]: arr[:, :-1] < arr[:, 1:]
Out[121]:
array([[ True, True, True, True],
[False, True, False, False],
[ True, True, True, True],
[ True, False, True, True],
[ True, True, True, True]], dtype=bool)
In [122]: np.logical_and.reduce(arr[:, :-1] < arr[:, 1:], axis=1)
Out[122]: array([ True, False, True, False, True], dtype=bool)
注意,logical_and.reduce跟all方法是等价的。
ccumulate跟reduce的关系就像cumsum跟sum的关系那样。它产生一个跟原数组大小相同的中间“累计”值数组:
In [123]: arr = np.arange(15).reshape((3, 5))
In [124]: np.add.accumulate(arr, axis=1)
Out[124]:
array([[ 0, 1, 3, 6, 10],
[ 5, 11, 18, 26, 35],
[10, 21, 33, 46, 60]])
outer用于计算两个数组的叉积:
In [125]: arr = np.arange(3).repeat([1, 2, 2])
In [126]: arr
Out[126]: array([0, 1, 1, 2, 2])
In [127]: np.multiply.outer(arr, np.arange(5))
Out[127]:
array([[0, 0, 0, 0, 0],
[0, 1, 2, 3, 4],
[0, 1, 2, 3, 4],
[0, 2, 4, 6, 8],
[0, 2, 4, 6, 8]])
outer输出结果的维度是两个输入数据的维度之和:
In [128]: x, y = np.random.randn(3, 4), np.random.randn(5)
In [129]: result = np.subtract.outer(x, y)
In [130]: result.shape
Out[130]: (3, 4, 5)
最后一个方法reduceat用于计算“局部约简”,其实就是一个对数据各切片进行聚合的groupby运算。它接受一组用于指示如何对值进行拆分和聚合的“面元边界”:
In [131]: arr = np.arange(10)
In [132]: np.add.reduceat(arr, [0, 5, 8])
Out[132]: array([10, 18, 17])
最终结果是在arr[0:5]、arr[5:8]以及arr[8:]上执行的约简。跟其他方法一样,这里也可以传入一个axis参数:
In [133]: arr = np.multiply.outer(np.arange(4), np.arange(5))
In [134]: arr
Out[134]:
array([[ 0, 0, 0, 0, 0],
[ 0, 1, 2, 3, 4],
[ 0, 2, 4, 6, 8],
[ 0, 3, 6, 9, 12]])
In [135]: np.add.reduceat(arr, [0, 2, 4], axis=1)
Out[135]:
array([[ 0, 0, 0],
[ 1, 5, 4],
[ 2, 10, 8],
[ 3, 15, 12]])
表A-2总结了部分的ufunc方法。
表A ufunc方法

编写新的ufunc

有多种方法可以让你编写自己的NumPy ufuncs。最常见的是使用NumPy C API,但它超越了本书的范围。在本节,我们讲纯粹的Python ufunc。
numpy.frompyfunc接受一个Python函数以及两个分别表示输入输出参数数量的参数。例如,下面是一个能够实现元素级加法的简单函数:
In [136]: def add_elements(x, y):
.....: return x + y
In [137]: add_them = np.frompyfunc(add_elements, 2, 1)
In [138]: add_them(np.arange(8), np.arange(8))
Out[138]: array([0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14], dtype=object)
用frompyfunc创建的函数总是返回Python对象数组,这一点很不方便。幸运的是,还有另一个办法,即numpy.vectorize。虽然没有frompyfunc那么强大,但可以让你指定输出类型:
In [139]: add_them = np.vectorize(add_elements, otypes=[np.float64])
In [140]: add_them(np.arange(8), np.arange(8))
Out[140]: array([ 0., 2., 4., 6., 8., 10., 12., 14.])
虽然这两个函数提供了一种创建ufunc型函数的手段,但它们非常慢,因为它们在计算每个元素时都要执行一次Python函数调用,这就会比NumPy自带的基于C的ufunc慢很多:
In [141]: arr = np.random.randn(10000)
In [142]: %timeit add_them(arr, arr)
4.12 ms +- 182 us per loop (mean +- std. dev. of 7 runs, 100 loops each)
In